Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа

Вообще говоря, определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз уж мы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определить функции тангенс и котангенс, используя только их геометрическое определения (заметим, что выражения «тангенс угла a – это отношение синуса a к косинусу a» и « котангенс угла a – это отношение косинуса a к синусу a» не являются определениями – это уже свойства).

Использование второго подхода поможет нам не только на этапе изучения самих тригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравнений и неравенств. Поэтому целесообразнее использовать именно второй подход, а определение тангенса a как отношение синуса a к косинусу a рассматривать как свойство.

Итак, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотрены программой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков, необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:

Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.

(Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:

Здесь значения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия и запоминания форме.)

Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.

Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.

Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.

Приобретая вышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств, достаточный для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.

Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:

Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции

Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.

Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.

Несмотря на то, что анализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируем некоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощью окружности является единственным доступным для школьников способом обоснования некоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.

Остановимся подробнее на исследовании тригонометрических функций.

Область определения.

«Областью определения функции действительного переменного называется множество действительных значений аргумента, при которых функция принимает действительные же значения».

Область определения функций у=sin x и у=соs x – множество всех действительных чисел. Этот факт достаточно легко обосновывается с помощью окружности: каждому действительному числу х соответствует точка на окружности Рх. Каждой точке Рх соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них - это действительное число. Значит, значения функций у=sin x и у=соs x для любого действительного х будут действительными числами.

Тонкости педагогики:

Нравственная культура современного общества
Сегодняшнее общество на фоне общих кризисных явлений переживает, в том числе, и духовный кризис. В последние годы наблюдается заметное понижение уровня нормативной культуры в обществе: всё большее число различных явлений общественной жизни, ранее, безусловно, выходивших за рамки социально-нормативн ...

Экспериментальное обоснование эффективности демонстрационного практикума на пропедевтическом уровне обучения информатике
Изучение проблемы применения демонстрационного практикума на пропедевтическом уровне обучения информатике привело к необходимости проведения эксперимента. Педагогический эксперимент проводился в школе №38. Шестые классы были выбран в качестве базовых для проведения экспериментального исследования п ...

Формирование личности в раннем возрасте в контексте детской психологии и возрастной педагогики
На вопрос, что такое личность, психологи отвечают по-разному, и в разнообразии их ответов, а отчасти и в расхождении мнений на этот счет проявляется многогранность и сложность самого феномена личности. Наличие и сосуществования множества разных определений личности, имеющихся в литературе, заслужив ...