Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа

В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:

Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).

Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс ).

На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900. Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 900. Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента с помощью окружности в курсе алгебры и начал анализа.

На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить учеников с углом как с величиной, способной изменятся от -¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.

В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не произвольного радиуса.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p и выраженным не в долях числа p;

составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;

находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…

Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ….

Определить, каким четвертям принадлежат точки 21p/4, -37p/6, 10, -95.

Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам: а) p/6+2pк £ t £ 2p/3+2pк, кÎZ

б) -p/3+2pк £ t £ 3p/4+2pк, кÎZ

Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам p/4, -3p/2, 23p/6, -13p/3…

Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2), (-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….

Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2, 0, -1, абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.

Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.

В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.

В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3…. , на втором - в отрицательном с указанием точек -0, -p/6, -p/4, -p/3, -p/2, -2p/3…., причем второй макет желательно вывесить после того, как учащиеся ответят или попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».

Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p.

Тонкости педагогики:

Психологический аспект обучения иностранному языку на региональном уровне
При составлении ситуаций важно помнить о психологической природе речевой деятельности, которая стимулируется различными потребностями человека, например: удовлетворить свою любознательность, выразить мнение, отношение, дать оценку происходящему, разрешить разногласие, сделать выбор, принять решение ...

Модели органических целостностей
На наш взгляд, обозначенная проблема моделирования органических целостностей, то есть действительно системного мышления, решается в эпистемологическом подходе философа и антрополога Грегори Бейтсона, основанного им на идеях кибернетики Норберта Винера. Этот подход, так же как СМД-подход, представля ...

Построение оптимальной модели процесса обучения учащихся VII-VIII классов при освоении технологических операций на токарно-винторезном станке
Уроки технологии имеют свою оправданную специфику, выражаемую рядом особенностей по сравнению с уроками других учебных предметов. Во-первых, на занятиях по технологии сложилась оправдавшая себя практика сдвоенных уроков. Это объясняется тем, что центральное место на уроках технологии отводится имен ...